วิธีทำโจทย์พหุนาม แนวข้อสอบ ม.4 ที่เด็กส่วนใหญ่ทำไม่ได้ เจาะลึกเทคนิคการแก้โจทย์ปราบเซียน

ในบรรดาข้อสอบคณิตศาสตร์สอบเข้า ม.4 ทั้งหมด บทเรียนที่ถือว่าเป็น "ยาขม" และเป็นตัวตัดคะแนนที่โหดหินที่สุดคงหนีไม่พ้นเรื่อง "พหุนามและการแยกตัวประกอบ" ค่ะ เพราะโจทย์ในระดับแข่งขันมักจะไม่ได้ถามตรงๆ แบบ $(x+2)(x+3)$ แต่จะมาในรูปแบบของดีกรีสูงๆ ตัวแปรเยอะๆ หรือต้องจัดรูปซับซ้อนที่โรงเรียนอาจไม่ได้สอนลึกขนาดนั้น

วันนี้ครูจะพาไปดูเทคนิคการแก้โจทย์พหุนามแนว "ปราบเซียน" ที่เด็กส่วนใหญ่ทำไม่ได้ หรือใช้เวลาทำนานเกินไป จนเสียโอกาสในการทำข้ออื่น พร้อมวิธีลัดที่จะช่วยให้นักเรียนมองโจทย์ได้ทะลุปรุโปร่งยิ่งขึ้นค่ะ

1. ปัญหาที่พบบ่อย: ทำไมเด็กส่วนใหญ่ถึงทำไม่ได้?

จากประสบการณ์การสอนของครู พบว่าสาเหตุหลักที่นักเรียนตกม้าตายเรื่องพหุนามมี 3 ข้อใหญ่ๆ คือ:

1. มองไม่ออกว่าต้องใช้วิธีไหน: โจทย์พหุนามมีหลายวิธีในการแก้ (ดึงตัวร่วม, ผลต่างกำลังสอง, หารสังเคราะห์) พอมารวมกันในข้อเดียว นักเรียนมักสับสนว่าควรเริ่มจากตรงไหน

2. ไม่แม่นเรื่องเครื่องหมาย: การกระจายลบเข้าไปในวงเล็บผิดเพียงจุดเดียว คำตอบจะเปลี่ยนทันที

3. ไม่รู้จักเทคนิค "การเปลี่ยนตัวแปร": พยายามกระจายกำลังสูงๆ เข้าไปตรงๆ ซึ่งทำให้ตัวเลขเยอะมากจนคำนวณผิดพลาด

2. เทคนิคที่ 1: การเปลี่ยนตัวแปร (Variable Substitution)

เทคนิคนี้ใช้เมื่อเจอกลุ่มตัวแปรที่หน้าตาเหมือนกันซ้ำๆ ในโจทย์ ถ้านักเรียนกระจายกำลังเข้าไปตรงๆ อาจจะต้องใช้เวลานานและเสี่ยงผิดสูง

ตัวอย่างโจทย์แนวข้อสอบ: จงแยกตัวประกอบของ $(x^2 - 4x)^2 - 2(x^2 - 4x) - 15$

วิธีทำที่ถูกต้อง:

1. สังเกต: จะเห็นว่ามีก้อน $(x^2 - 4x)$ ซ้ำกันอยู่ 2 จุด

2. สมมติตัวแปร: ให้ $A = (x^2 - 4x)$

3. แทนค่า: โจทย์จะเปลี่ยนรูปเป็น $A^2 - 2A - 15$ ซึ่งดูง่ายขึ้นทันที

4. แยกตัวประกอบ: จะได้ $(A - 5)(A + 3)$

5. แทนค่าคืน: นำ $(x^2 - 4x)$ กลับมาแทนที่ A จะได้ $(x^2 - 4x - 5)(x^2 - 4x + 3)$

6. แยกต่อให้สุด: $(x - 5)(x + 1)(x - 3)(x - 1)$

เทคนิคนี้ช่วยลดความซับซ้อนของโจทย์ลงได้กว่า 50% เลยค่ะ

3. เทคนิคที่ 2: ทฤษฎีบทเศษเหลือ (Remainder Theorem)

โจทย์มักจะถามว่า "พหุนามนี้หารด้วยตัวนี้ เหลือเศษเท่าไหร่" โดยที่ตัวตั้งมีกำลังสูงมาก (เช่น $x^{2568}$) ซึ่งเราไม่สามารถตั้งหารยาวได้แน่นอน

หัวใจสำคัญ: ถ้าหารพหุนาม $P(x)$ ด้วย $(x - c)$ เศษจากการหารคือ $P(c)$

ตัวอย่างโจทย์: จงหาเศษจากการหาร $x^{20} - 5x + 3$ ด้วย $x - 1$

วิธีคิด:

1. ตัวหารคือ $x - 1$ แสดงว่า $c = 1$

2. แทนค่า $x = 1$ ลงในสมการได้เลย

3. เศษ = $(1)^{20} - 5(1) + 3$

4. เศษ = $1 - 5 + 3 = -1$

5. ตอบ: เศษคือ -1

ข้อนี้ถ้านักเรียนไปตั้งหารยาว รับรองว่าหมดเวลาสอบแน่นอนค่ะ แต่ถ้ารู้ทฤษฎีบทนี้ จะใช้เวลาเพียง 10 วินาทีเท่านั้น

4. เทคนิคที่ 3: การหารสังเคราะห์ (Synthetic Division)

เมื่อโจทย์สั่งให้แยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีตั้งแต่ 3 ขึ้นไป (เช่น $x^3, x^4$) การแยก 2 วงเล็บแบบปกติทำไม่ได้ ต้องใช้ "การหารสังเคราะห์" ซึ่งเร็วกว่าการหารยาวมาก

ขั้นตอนการทำ:

1. เรียงดีกรีจากมากไปน้อย (ถ้าดีกรีไหนหายไป ให้ใส่สัมประสิทธิ์เป็น 0 ห้ามข้ามเด็ดขาด)

2. สุ่มตัวเลขมาหาร (ตัวประกอบของตัวท้ายสุด) ที่ทำให้ผลลัพธ์เป็น 0

3. นำสัมประสิทธิ์มาตั้งหาร แล้วทำตามขั้นตอน "ชัก-คูณ-บวก"

สิ่งที่ต้องระวัง: นักเรียนส่วนใหญ่มักลืมใส่เลข 0 ในดีกรีที่หายไป เช่น $x^3 - 8$ (ไม่มี $x^2$ และ $x$) ต้องเขียนสัมประสิทธิ์เป็น 1, 0, 0, -8 ไม่ใช่ 1, -8 เฉยๆ ค่ะ

5. เทคนิคที่ 4: การจับคู่พจน์ (Grouping)

บางครั้งโจทย์ให้มา 4 พจน์ และไม่มีตัวร่วมที่ดึงออกได้ทั้งหมด เราต้องรู้จัก "จับคู่" เพื่อดึงตัวร่วมย่อยออกมา

ตัวอย่างโจทย์: $ax + ay + bx + by$

วิธีคิด:

1. จับคู่ชุดแรก $(ax + ay)$ ดึง a ออก ได้ $a(x + y)$

2. จับคู่ชุดสอง $(bx + by)$ ดึง b ออก ได้ $b(x + y)$

3. ตอนนี้ทั้งสองก้อนมี $(x + y)$ เหมือนกันแล้ว ก็ดึง $(x + y)$ ออกมาอีกรอบ

4. คำตอบ: $(x + y)(a + b)$

บทสรุป

เรื่องพหุนามอาจดูน่ากลัวเพราะตัวเลขและตัวแปรที่เยอะแยะไปหมด แต่ถ้านักเรียนเข้าใจ "โครงสร้าง" ของมัน และเลือกใช้เครื่องมือ (ทฤษฎีบท) ได้ถูกต้องตามสถานการณ์ โจทย์ที่เคยยากจะกลายเป็นโจทย์แจกคะแนนทันทีค่ะ

ครูแนะนำให้นักเรียนฝึกทำโจทย์แนวนี้บ่อยๆ โดยเริ่มจากการมองให้ออกก่อนว่าข้อนี้ควรใช้เทคนิคไหน แล้วค่อยลงมือทำ จะช่วยลดเวลาและความผิดพลาดได้มากค่ะ ขอให้นักเรียนทุกคนโชคดีกับการฝึกฝนนะคะ